Комплексные числа

Понятие комплексного числа

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара (x, y) вещественных чисел, первое из которых называется действительной частью, а второе — мнимой частью этого комплексного числа.

В случае, когда мнимая часть y равна нулю, соответствующую пару (x, 0) договариваются отождествлять с вещественным числом x. Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как часть множества комплексных чисел.

Определение. Два комплексных числа z₁=(x₁, y₁) и z₂=(x₂, y₂) называются равными, если x₁=x₂, y₁=y₂. Говорят, что комплексное число z=(x, y) равно нулю, если x=0, y=0.

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Определение. z₁=(x₁, y₁) и z₂=(x₂, y₂) назовем комплексное число z вида

Произведением двух комплексных чисел z₁=(x₁, y₁) и z₂=(x₂, y₂) назовем комплексное число z вида

Сумма и произведение комплексных чисел обладают теми же самыми свойствами, что и сумма и произведение вещественных чисел.

Свойства:

1. z₁+z₂=z₂+z₁ (коммутативность);
2. (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃) (ассоциативность сложения);
3. z+(0, 0)=z (наличие нулевого элемента);
4. Для каждого числа z=(x, y) существует противоположное ему число z′=(-x, -y) такое, что z+z′=(0, 0);
5. z₁·z₂ = z₂·z₁ (коммутативность);
6. (z₁·z₂)·z₃ = z₁·(z₂·z₃) (ассоциативность умножения);
7. z·(1, 0) = z (наличие единичного элемента);
8. Для любого комплексного числа z=(x, y), не равного нулю, существует обратное ему число такое, что .
9. (z₁+z₂)·z₃ = z₁·z₃ + z₂·z₃ (дистрибутивность относительно сложения).

Определение. Разностью двух комплексных чисел z₁=(x₁, y₁) и z₂=(x₂, y₂) называется такое комплексное число z, которое в сумме с z₂ дает z₁.

Легко проверить, что разность двух комплексных чисел определяется по формуле:

Определение. Частным двух комплексных чисел z₁=(x₁, y₁) и z₂=(x₂, y₂)≠0 называется такое комплексное число z, которое при умножении на z₂ дает z₁.

Легко проверить, что частное двух комплексных чисел определяется по формуле:

В операциях с комплексными числами особую роль играет число, представимое парой (0, 1) и обозначаемое буквой i. Найдем

Тогда любое комплексное число z=(x, y) можно представить в виде

Таким образом получили

— алгебраическая форма записи комплексного числа. Число x называется действительной частью (Re z), число y называется мнимой частью (Im z) этого комплексного числа.

Два комплексных числа z₁=x₁+i y₁ и z₂=x₂+i y₂ равны тогда и только тогда, когда x₁ = x2 и y₁ = y₂.

Замечание 1. Одно равенство z₁=z₂ комплексных чисел равносильно двум равенствам x₁ = x₂, y₁ = y₂ действительных чисел.

Замечание 2. Понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяется. Записи типа i>0, 1+i<2 лишены всякого смысла.

Определение. Комплексные числа x+iy и x-iy, то есть числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Число, сопряженное числу z, обозначается .

Геометрическое изображение комплексных чисел

На плоскости выберем систему прямоугольных координат. Комплексному числу (a, b)=a+bi поставим в соответствие точку M(a, b) этой плоскости.

Если b=0, то получим действительное число (a, 0)=a, которое изображается точкой A на оси Ox, поэтому ось Ox называется действительной осью.

Если a=0, то получим чисто мнимое число (0, b)=bi, которое изображается точкой B на оси Oy, поэтому ось Oy называется мнимой осью.

Мнимая единица i изображается точкой (0, 1).

Любое комплексное число z=(a, b), где a≠0, b≠0 изображается точкой плоскости, не лежащей на осях координат. Обратно, любой точке плоскости M(a, b) соответствует комплексное число (a, b)=a+bi. Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости установлено взаимно-однозначное соответствие.

Определение. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Определение. Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина отрезка , где O — начало координат, M(a, b) — точка, изображающая это комплексное число. Обозначение: r, |z|. Таким образом, , следовательно,

— формула, выражающая модуль комплексного числа через его действительную и мнимую части.

Определение. Аргументом комплексного числа z=a+bi называется величина угла φ наклона отрезка OM к оси Ox.

Аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся на число, кратное 2π. Аргумент не определен лишь для z=0, для которого |z|=0.

Обозначение: Arg z.

Выделяют главное значение аргумента, для которого -π≤φ≤&pi. Обозначение: arg z.

Поскольку a=r cos φ, b=r sin φ, то

где

Определение. r(cos φ+i sin φ) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, то есть

С помощью формулы Эйлера

тригонометрическая форма комплексного числа преобразуется в показательную форму комплексного числа:

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной форме

Рассмотрим два комплексных числа:

Найдем произведение этих комплексных чисел:

или

следовательно,

В показательной форме получим

Если z₂≠0, r₂≠0, то

и это выражение преобразуется к виду

следовательно,

В показательной форме получим

Рассмотрим комплексное число z=r(cos φ+i sin φ). Пусть n∈N, тогда

— формула Муавра.

Определение. Комплексное число z называется корнем степени n из комплексного числа w, если zⁿ=w.

Обозначение:.

Пусть z=r(cos φ+i sin φ), w=ρ(cos α+i sin α). Поскольку zⁿ=w, то по формуле Муавра получим

Из равенства двух комплексных чисел получим

или

Итак, все решения уравнения zⁿ=w представляются в виде

причем при k=1, 2, …, n-1 получаем различные значения корня.

Таким образом, существует n корней степени n из числа w. Все эти корни имеют один и тот же модуль, но разные аргументы, отличающиеся друг от друга на 2πk/n, где k — некоторое целое число.

В показательной форме