Понятие линейной независимости функций вводится аналогично понятию линейной независимости векторов.
Определение. Функции
называются линейно-зависимыми на отрезке [a, b], если существуют действительные числа α1, α2, …, αn, не все равные нулю (α²1+α²2+ … + α²n≠0), такие, что для любых x∈[a, b] выполняется равенство
Если это равенство выполняется лишь при α1=α2=…=αn=0, то функции y1, y2, …, yn называются линейно-независимыми.
Примеры.
а также функции
линейно независимы на любом отрезке [a, b].
Определение. Определителем Вронского называется определитель
Теорема. Если функции y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) линейно-зависимы на отрезке [a, b], то определитель Вронского w(x) = w[y1, y2, …, yn] тождественно равен нулю на этом отрезке.
Теорема. Если y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) линейно-независимые решения уравнения
с коэффициентами pk(x) (k=l, …, n), непрерывными на отрезке [a, b], то определитель Вронского w(x) = w[y1, y2, …, yn] не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a, b].
Теорема. Если y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) — линейно-независимые на отрезке [a, b] решения однородного уравнения
коэффициенты которого непрерывны на этом отрезке, то его общее решение определяется формулой
где C1, C2, …, Cn — произвольные постоянные.
Следствие. Максимальное число линейно-независимых решений линейного однородного уравнения равно порядку этого уравнения.
Определение. Любые n линейно-независимых решений линейного однородного уравнения n-го порядка называются его фундаментальной системой решений.