Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где a₁, a₂, …, a_n — действительные числа.

Решение этого уравнения будем искать в виде y=e^kx (k=const). Подставляя эту функцию и ее производные

в исходное уравнение, получаем

Функция y=e^kx будет решением уравнения тогда и только тогда, когда

то есть, когда k — корень этого алгебраического уравнения. Это уравнение называется характеристическим уравнением. Это алгебраическое уравнение n-й степени, оно имеет n корней (считая и равные корни), среди которых могут быть и комплексные.

Рассмотрим основные возможные случаи.

1) Характеристическое уравнение имеет различные действительные корни.

Обозначим эти корни через k₁, k₂, …, k_n (k_i≠k_j при i≠j). Им соответствуют решения уравнения

Эти функции, когда k_i≠k_j при i≠j, линейно-независимы на любом отрезке [a, b]. В соответствии с теоремой о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка получаем следующее общее решение уравнения y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+ … + a_n-1y′+a_ny=0:

2) Характеристическое уравнение имеет действительные корни, среди которых m равны между собой.

Будем говорить в этом случае, что среди корней характеристического уравнения имеется один m-кратный корень. Обозначим его через k₁. Предположим, что все остальные действительные корни различны. Корням характеристического уравнения k₁=k₂= … =k_m, k_m+1, …, k_n соответствуют решения дифференциального уравнения

Эти решения линейно-зависимы, так как линейно-зависимы первые n функций (они равны между собой). Поэтому они не дадут общего решения дифференциального уравнения. Его надо искать в другом виде.

Сделаем замену переменных y=e^k₁xz. Рассмотрим

то есть производная y^(p) является линейной однородной функцией z, z′, …, z^(p). После подстановки в дифференциальное уравнение

и сокращения на e^k₁x получим линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:

причем корни характеристического уравнения для исходного уравнения

отличаются от корней характеристического уравнения для преобразованного уравнения

на слагаемое k₁, так как между решениями y=e^kx исходного уравнения и z=e^px преобразованного уравнения должна быть зависимость y = z e^k₁x или e^kx = e^px e^k₁x, отсюда k = p + k₁. Следовательно, корню k = k₁ исходного уравнения соответствует корень p₁ = 0 преобразованного уравнения. Кратность корня при этом сохранится.

Итак, характеристическое уравнение имеет корень p₁ = 0 кратности m. Следовательно, левая часть его имеет общий множитель p^m, то есть b_n=b_n-1=…=b_n-m+1=0, и характеристическое уравнение имеет вид

Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение

имеет частные решения 1, x, x², …, x^m-1, так как уравнение не содержит производных порядка ниже, чем m.

Итак, корню p₁ = 0 кратности m соответствуют частные решения z=1, z = x, z = x², …, z = x^m-l. Следовательно, поскольку y = z e^k₁x, корню k₁ кратности m исходного уравнения будут соответствовать m частных решений

А эти решения являются линейно независимыми.

Таким образом, общее решение уравнения

имеет вид

или

3) Характеристическое уравнение имеет простые комплексно-сопряженные корни.

Обозначим эти корни k₁ = α - iβ, k₂ = a + iβ, где α, β — действительные числа, . Им соответствуют комплексные решения дифференциального уравнения (формула Эйлера)

На основании третьей теоремы о свойствах решений линейного однородного уравнения наше уравнение будет иметь также и действительные решения

Если все остальные корни k₃, k₄, …, k_n являются действительными и различными, то общее решение уравнения

определяется формулой

В частном случае, когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни k₁ = -iβ, k₂ = iβ (α = 0), получим общее решение

4) Характеристическое уравнение имеет кратные комплексные корни.

Пусть комплексно-сопряженные корни k₁ = α - iβ, k₂ = a + iβ являются m-кратными. Им соответствуют решения

Применяя формулу Эйлера и отделяя действительную и мнимую части, получим 2m линейно-независимых решения:

Если остальные n-2m корней k_m+1, …, k_n являются действительными и различными, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид