Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде
Рассмотрим частный случай, а именно, когда функции P(x, y) и Q(x, y) представляют собой произведения функции только от x на функцию только от y, то есть
в этом случае уравнение принимает вид
Если дифференциальное уравнение первого порядка можно привести к такому виду, то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Здесь f(x), f1(x) — функции только от x, φ(y), φ1(y) — функции только от y. Разделив почленно это уравнение на f1(x)φ(y) в предположении, что
получим уравнение
Это уравнение называется уравнением с разделенными переменными: при dx находится функция только от x, при dy — только от y.
Взяв неопределенные интегралы от обеих частей уравнения, получим
Это равенство выражает общий интеграл уравнения f(x)φ(y)dx + f1(x)φ1(y)dy = 0.
Если интегралы (или один из них) является «неберущимся», это уравнение все равно считается решенным, при этом говорят, что решение найдено «в квадратурах».