Определение. Годографом векторной функции r(t) называется геометрическое место концов всех векторов r(t), приложенных к началу координат O.
Геометрический смысл производной: Производная вектор—функции в данной точке есть вектор, направленный по касательной к годографу данной вектор—функции в соответствующей точке.
Физический смысл производной: Так как векторная функция r=r(t) определяет закон движения материальной точки по кривой L, представляющей собой годограф этой функции, то производная r′(t) равна скорости движения по указанной прямой.
Уравнение касательной к кривой L в точке r(t0), для которой r′(t0)≠ 0, в векторной записи имеет вид
r = r(t0) + r′(t0)τ, τ∈(-∞,+∞),
где r — текущий радиус—вектор касательной.
В координатной записи уравнение касательной имеет вид
x=x(t0)+x′(t0)τ, y=y(t0)+y′(t0)τ,
z=z(t0)+z′(t0)τ, τ∈(-∞,+∞).
Исключив переменную τ, получим
Уравнение нормальной плоскости к пространственной кривой
x=x(t), y=y(t), z=z(t)
в точке M0(x0,y0z0), которой соответствует значение параметра t0, имеет вид
x′(t0)(x-x0)+y′(t0)(y-y0)+z′(t0)(z-z0)=0.
Пусть для некоторой функции f(x) вычислены ее значения в точках x1, x2,…, xn. Требуется восстановить ее значения при других x.
Обычно задачу понимают следующим образом. Ищется целый многочлен L(x) наинизшей степени, который в заданных точках xi (i=1, 2, …, n), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f(xi), что и функция f(x), то есть L(xi)=f(xi), и приближенно полагают для любых x:
f(x) = L(x).
Это приближенное равенство называется интерполяционной формулой.
Для разыскания многочлена L(x), удовлетворяющего условиям
L(xi) = f(xi), (i=1, 2, …, ),
удобно ввести многочлен (n-1)-й степени
Видно, что
lk(xk) = 1, lk(xi)=0, k ≠ i.
Тогда многочлен
удовлетворяет условиям L(xi)=f(xi) (i=1, 2, …, n). Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
В этом случае приближенное равенство
f(x) = L(x)
называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Многочлен lk(x) можем записать более сжато, если ввести выражение
ω(x) = (x-x1)…(x-xn),
очевидно, что ω(xk)=0 (k=1, 2, …, n). Следовательно,
Таким образом,
Теперь оценим разность между f(x) и L(x). Предположим, что f(n)(x) — непрерывна. Положим
φ(t) = f(t) - L(x) - Kω(t),
где K выбирается из условия φ(x) = 0 (x — точка, в которой оценивается погрешность).
Из уравнения φ(x)=0 получим
При таком выборе K функция φ(t) обращается в нуль в (n+1)-й точке: x1, x2, …, xn, x. На основании теоремы Ролля ее производная φ′(t) обращается в нуль по-крайней мере в n точках. Применяя теорему Ролля к φ′(t), получим, что φ″(t) обращается в нуль в (n-1)-1 точке и т.д. φ(n)(t) обращается в нуль по крайней мере в одной точке ξ∈[y1,y2], где
y1 = min {x1, x2, …, xk, x}, y2 = max {x1, x2, …, xk, x}.
Так как φ(n)(t)=f(n)(t)-Kn!, то из условия φ(n)}(ξ)=0 получим
Следовательно, уравнение φ(x) = 0 можем записать в виде
которое дает представление остаточного члена.
Введем понятие разделенной разности. Разделенные разности нулевого порядка f(xi) совпадают со значениями функции f(xi); разности первого порядка определяются равенством
разности второго порядка — равенством
разности k-го порядка определяются через разности (k-1)-го порядка
Утверждение. Справедливо равенство
При помощи разделенных разностей можно получить другую форму интерполяционного многочлена L(x).
Справедливо равенство
Сравнивая с равенством в утверждении, получим
f(x)-L(x) = f(x; x1; …; xn)ω(x).
Интерполяционный многочлен Лагранжа можно представить в виде:
L(x) = L1(x)+(L2(x)-L1(x))+…+(Ln(x)-Ln-1(x)),
где Li(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами интерполяции x1, …, xi (i=1, 2, …, n).
Так как Lm-1(xj)=Lm(xj)=f(xj) для j=1, 2, …, m-1, то разность Lm(x)-Lm-1(x) есть многочлен степени m-1, обращающийся в нуль в точках x1, …, xm-1. Следовательно,
Lm(x) - Lm-1(x) = Am-1ωm-1(x),
где Am-1=const. Полагая x=xm, получим
f(xm) - Lm-1(xm) = Am-1ωm-1(xm).
С другой стороны, полагая в новом представлении интерполяционной формулы Лагранжа n=m-1 и x=xm, получим
f(xm) - Lm-1(xm) = f(xm; x1; …; xm-1)ωm-1(xm).
Таким образом, Am-1 = f(x1; …; xm) и поэтому
Lm(x) - Lm-1(x) = f(x1;…;xm)ωm-1(x).
Окончательно получим \begin{displaymath} Ln(x) = f(x1) + f(x1; x2)(x1-x2) + … + f(x1; …; xn)(x-x1)…(x-xn-1).
Интерполяционный многочлен, записанный в такой форме, называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.
Простейшие формулы численного дифференцирования получаются в результате дифференцирования интерполяционных формул.
Пусть известны значения функции в точках x1, …, xn и требуется вычислить производную f(k)(x0). Построим интерполяционный многочлен L(x) и положим f(k)(x0) ≈ L(k)(x0).
Другой способ построения формул численного дифференцирования — это метод неопределенных коэффициентов. Коэффициенты ci формулы численного дифференцирования
выбираются из условия, чтобы формула была точна для многочленов максимально высокой степени. Возьмем и потребуем, чтобы для такого многочлена последнее соотношение обратилось в равенство
Чтобы равенство выполнялось для любого многочлена степени m, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при aj в правой и левой частях были равны. Поскольку
(xj)(k) = j(j-1) … (j-k+1)xj-k,
то получаем линейную систему уравнений
относительно неизвестных ci. Если m=n-1, то число уравнений равно числу неизвестных, причем определитель этой системы будет отличен от нуля. Таким образом, всегда можно построить формулу численного дифференцирования с n узлами, точную для многочленов степени n-1.