Главная Теория пределов и дифференциальное исчисление Достаточные признаки экстремума функции в точке


















Достаточные признаки экстремума функции в точке

Как мы уже знаем, для отыскания у дифференцируемой функции f(x) точек возможного экстремума (точек, подозрительных на экстремум), следует найти все нули производной f′(x), то есть найти корни уравнения:

f′(x) = 0.

Поскольку равенство нулю производной является лишь необходимым условием экстремума, нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии экстремума в каждой точке возможного экстремума.

Теорема [Первое достаточное условие экстремума]. Пусть точка c является точкой возможного экстремума для функции f(x), и пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c. Тогда

Замечание. В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность, но обязательно меняет в ней знак. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной).

Теорема [Второе достаточное условие экстремума]. Пусть функция f(x) имеет в данной точке c возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке c максимум, если f″(x)<0 и минимум, если f″(x)>0.

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции

Пусть функция f(x) непрерывная на отрезке [a, b]. Для нахождения наибольшего значения этой функции на отрезке необходимо вычислить значения ее максимумов на этом отрезке, значения функции на концах, то есть f(a), f(b), и из полученных чисел выбрать самое большое.

Аналогично находится наименьшее значение функции.

Направление выпуклости графика функции

Определение. Будем говорить, что график функции y=f(x) имеем на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой касательной.

Теорема. Если функция y=f(x) имеем на интервале (a, b) конечную вторую производную и если эта производная неотрицательная (неположительная) всюду на этом интервале, то график функции y=f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точки перегиба графика функции

Предположим, что график функции y=f(x) имеет определенное направление выпуклости на каждом из интервалов (a, c) и (c, b), где a<c<b — некоторые три числа. Кроме того, предположим, что существует касательная к графику функции y=f(x) и точке M(c, f(c)).

Определение. Точка M(c, f(c)) графика функции y=f(x) называется точкой перегиб этого графика, если существует такая окрестность точки c оси абсцисс, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от c имеет разные направления выпуклости.

Теорема [необходимое условие перегиба графика функции]. Если график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M(c, f(c)) и если функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f″(c)=0.

Теорема [Первое достаточное условие перегиба]. Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки c и f″(c)=0. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная f″(x) имеет разные знаки слева и справа от точки c, то график этой функции имеет перегиб в точке M(c, f(c)).

Теорема [Второе достаточное условие перегиба]. Если функция y=f(x) имеет в точке c конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям f″(c)=0, f″′(c) ≠ 0, то график этой функции имеет перегиб в точке M(c, f(c)).

Теорема [Третье достаточное условие экстремума и перегиба]. Пусть n — некоторое натуральное число, и пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки c производную порядка n+1, причем эта производная непрерывна в самой точке c. Пусть, далее, справедливы соотношения

f″(c)=f″′(c)=…=f(n)(c)=0, f(n+1)(c) ≠ 0.

Тогда, если (n+1) — нечетное число, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M(c, f(c)). Если же (n+1) — четное число и, кроме того, f′(c)=0, то функция y=f(x) имеет локальный экстремум в точке x=c, точнее, максимум, если f(n+1)(c)<0, и минимум, если f(n+1)(c)>0.