Определение. Произвольное множество {M}, элементы которого именуются точками, называется метрическим пространством, если существует правило, с помощью которого между двумя точками M′ и M″∈ {M} ставится в соответствие число ρ(M′,M″), называемое расстояниями между M′ и M″. При этом выполняются следующие аксиомы:
Отметим, что на плоскости расстояние между точками x и y:
Аналогично в пространстве:
и т.д.
Определение. Точкой x n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n действительных чисел (x1, …, xn)=x. Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние между точками по формуле
называется n-мерным евклидовым пространством и обозначается Rn.
Свойства
Таким образом, Rn есть метрическое пространство в смысле первого определения.
Рассмотрим последовательность точек x1, x2, …, xk, …, где xi = (x1i,…,xni)∈ Rn.
Определение. Последовательность {xk} сходится к точке x0 из пространства Rn, если |xk-x0|→ 0 при k→∞, то есть если
В этом случае пишут .
Утверждение 1. {xk}→ x0 тогда и только тогда, когда {xik}→ xi0 для любого i.
Утверждение 2. Справедливы соотношения:
где пределы справа существуют, xk, yk∈ Rn, α, αk∈ R.
Определение. Множество точек x(t)∈ Rn, t∈(a,b)∈ R, называется непрерывной кривой в Rn, если |x(t)-x(t0)|→ 0 при t→ t0, t, t0∈(a,b).
Утверждение. x(t)→ x(t0) тогда и только тогда, когда xj(t)→ xj(t0) (j=1, 2, …, n).
Определение. Пусть x0∈ Rn и ε>0. Множество точек x∈ Rn таких, что |x-x0|<ε, называется n-мерным шаром с центром в точке x0 и радиуса ε. Если здесь |x-x0|≤ε, то шар называется замкнутым.
Определение. Пусть Ω — произвольное множество в Rn. Точка x0∈ Rn называется внутренней точкой Ω, если существует открытый шар с центром в x0, полностью лежащий в Ω.
Определение. Множество Ω называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Примеры открытых множеств:
Теорема. Пересечение конечного числа, так же как и объединение любой совокупности открытых множеств, является открытым множеством.
Теорема. Множество E называется топологическим пространством, если в нем выделено семейство частей, называемых открытыми в этой топологии, удовлетворяющие свойствам:
— открыто.
В силу этого определения и теоремы получаем, что Rn является топологическим пространством.
Определение. Всякое открытое множество Ω ⊂ Rn, содержащее точку x0, называется окрестностью этой точки.
Определение. Множество Ω называется связным, если любые точки x′, x″∈ Ω можно соединить непрерывной кривой x(t) ⊂ Ω, где 0≤ t≤ 1: x(0)=x′, x(1)=x″.
Определение. Связное открытое множество называется областью.
Определение. Точка x0∈Ω называется граничной, если в любой окрестности этой точки есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие Ω. Границей множества называется совокупность всех его граничных точек. Если к области присоединить границу, то полученное множество называется замкнутым. Ограниченным множеством называется множество, которое можно поместить целиком внутрь шара некоторого радиуса.