Определение. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A (сколь бы большим мы его не взяли) можно указать номер N=N(A) такой, что при n ≥ N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству
|xn|>A.
Иногда формально бесконечно большие последовательности называют последовательностями, сходящимися к бесконечности. Это позволяет использовать для бесконечно большой последовательности {xn} следующую символику
Если при этом все элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, положительные (отрицательные), то используют следующую символику
Определение. Последовательность {α n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его не взяли) можно указать номер N=N(ε) такой, что при n ≥ N все элементы α n этой последовательности удовлетворяют неравенству
|αn| < ε.
В соответствии с определением сходящейся последовательности всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число 0.
Применим теорему о существовании предела монотонной последовательности для доказательства существования предела последовательности {xn}, элемент xn которой определяется формулой
В силу теоремы достаточно доказать, что эта последовательность 1) является возрастающей; 2) ограничена сверху.
1) Применяя формулу бинома Ньютона, получим для xn следующее выражение:
Это выражение перепишем в следующем виде:
Совершенно аналогичным образом запишем элемент xn+1:
Поскольку для любого 0<k<n и xn+1 содержит по сравнению с xn лишний положительный элемент, то имеем
xn < xn+1,
т.е. последовательность {xn} возрастающая.
2) Докажем теперь, что эта последовательность ограничена сверху. Заметим, что если каждую круглую скобку в правой части выражения для xn заменить единицей, то указанная правая часть возрастет. Заметим далее, что для любого номера n ≥ 2 справедливо неравенство k! = 2 · 3 · … · k ≥ 2k-1. Следовательно, получим
(Мы воспользовались формулой для суммы членов геометрической прогрессии.) Это неравенство доказывает ограниченность последовательности {xn} сверху.
По основной теореме последовательность {xn} имеет предел, который мы обозначим через e. следовательно, по определению