Главная Теория пределов и дифференциальное исчисление Бесконечно малые и бесконечно большие функции


















Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Ради определенности будем рассматривать предел функции в точке a.

Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой в точке a, если предел этой функции в точке a равен нулю.

Свойства бесконечно малых функций

Введем теперь понятие бесконечно большой в данной точке a справа (или слева) функции.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a справа (слева) функцией, если для любой сходящейся к a последовательности {xn} значений аргумента, все элементы которой больше a (меньше a), соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.

Для бесконечно больших в точке a справа (слева) функций используется следующая символика:

Остановимся на методике сравнения двух бесконечно малых в данной точке a функций. Пусть α(x) и β(x) — две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке a.

Для обозначения того, что α(x) является в данной точке бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x), используют следующую запись:

α = o(β)

(читается: "a равно o малому от β").

Итак, символ o(β) обозначает любую бесконечно малую в данной точке a функцию, имеющую в этой точке более высокий порядок малости, чем бесконечно малая в той же точке функция β(x)). Из этого определения символа "o малое" вытекают следующие его свойства:

Теорема. Если α(x)∼α1(x), β(x)∼β1(x) при x → a и существует , то существует , причем

Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке a справа (или слева) функции.

Пусть A(x) и B(x) определены для одних и тех же значений аргумента и для определенности

Утверждение. Если функция α=α(x) стремится к нулю при x → a и не обращается в нуль, то функция y(x)=1/α(x) стремится к бесконечности.

Замечание. Аналогично определяются и сравниваются функции, бесконечно малые или бесконечно большие при x → ∞, а также при x → +∞ (соответственно при x → -∞).