Понятие обратной функции и ее непрерывность

Пусть функция y=f(x) задана на сегменте [a, b], и пусть сегмент [α, β] является множеством значений этой функции. Пусть, кроме того, каждому y из сегмента [α, β] соответствует только одно значение x из сегмента [a, b], для которого f(x)=y. Тогда на сегменте [α, β] определена функция, которая каждому y из [α, β] ставит в соответствие то значение x из [a, b], для которого f(x)=y. Эта функция обозначается символом x=f^-1(y) и называется обратной для функции y=f(x).

Замечание. В проведенных выше рассуждениях вместо сегментов [a, b] и [α, β] можно было бы рассматривать интервалы (a, b) и (α, β) или, например, случай, когда один или оба из этих интервалов превращаются в бесконечную прямую или открытую полупрямую.

Определение. Функция y=f(x), определенная на числовом множестве {x}, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x₁,x₂∈{x} таких, что x₁<x₂, выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)). Функция строго убывающая и строго возрастающая называется монотонной.

Теорема. Пусть функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве {x} и {y} — множество ее значений. Тогда обратная функция f^-1(x) является однозначной строго возрастающей (убывающей) функцией на множестве {y}.

Теорема. Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на сегменте [a, b], и пусть α=f(a), β=f(b). Тогда для того, чтобы функция y=f(x) являлась непрерывной на сегменте [a, b], необходимо и достаточно, чтобы любое число γ, заключенное между α и β, было значением этой функции.

Теорема. Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [a, b], и пусть α=f(a), β=f(b). Тогда на сегменте [α, β] (соответственно на сегменте [β, α]) определена обратная для y=f(x) функция x=f^-1(y), которая возрастает (убывает) и непрерывна на указанном сегменте.

Кратко можно сказать, что из строгой монотонности и непрерывности на сегменте [a, b] данной функции вытекают существование, строгая монотонность и непрерывность на соответствующем сегменте обратной функции.