Если в каждой точке пространственной области определено значение некоторой величины, то говорят, что в данной области задано поле этой величины. В случае скалярной величины поле называется скалярным, в случае векторной — векторным.
В каждой точке пространственной области V, в которой задана дифференцируемая скалярная функция u=u(x, y, z), определим вектор с координатами (значения частных производных в данной точке). Указанный вектор называют градиентом функции в этой точке и обозначают grad u, то есть
Теорема. Производная функции u=u(x, y, z) по направлению вектора l равна проекции градиента этой функции на вектор l, то есть
Следствие. Производная функции в точке по направлению вектора l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента данной функции. Это наибольшее значение равно |grad u|.
Таким образом, в направлении градиента скалярная функция изменяется быстрее, чем в других направления.
Рассмотрим функцию z=f(x, y), определенную в некоторой области.
Определение. Максимумом функции z=f(x, y) называется такое ее значение f(x1, y1), которое больше всех других значений, принимаемых в точках M(x, y), достаточно близких к точке M1(x1, y1) и отличных от нее, то есть
f(x1, y1) > f(x, y).
Определение. Минимумом функции z=f(x, y) называется такое ее значение f(x2, y2), которое меньше всех других значений, принимаемых в точках M(x, y), достаточно близких к точке M2(x2, y2) и отличных от нее, то есть
Определение. f(x2, y2) < f(x, y).
Определение. Максимум и минимум функции называют экстремумом. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.
Аналогично определяется экстремум функции большего числа переменных.
Теорема [Необходимое условие экстремума]. В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю.
Теорема [Достаточное условие экстремума]. Пусть функция z=f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки M0(a, b). Если ее первые частные производные в точке M0=0, а вторые принимают значения
f″xx(a, b) = A, f″xy(a, b) = B, f″yy(a, b) = C,
то при
B²-AC < 0 и Q > 0
точка M0 является точкой минимума данной функции, а при
B²-AC < 3 и A < 0
— точкой максимума, при
B²-AC > 0
в точке M0 экстремума нет.
Замечание. Случай B²-AC=0 требует дополнительного исследования.
Замечание. Для функции трех и более переменных достаточные условия из теоремы примут вид: если
g² f(x0, y0) < 0,
то точка M0(x0, y0) является точкой максимума функции z=f(x, y); если
d² f(x0, y0) > 0,
то точкой минимума.
Пример. Найти значение экстремума функции f(x, y)=x2+y2-2x+4y+8.
Необходимые условия экстремума: f′x=2x-2=0, f′y=2y+4=0, следовательно, точка подозрительная на экстремум: x=8, y=-2. Достаточные условия экстремума: f″xx=2, f″xy=0, f″yy=2, тогда B2-AC=-4<0, A=2>0, следовательно, в точке M0(1,-2) функция имеет минимум, причем min f(x,y)=f(5,-2)=3.
Пусть необходимо вычислить наибольшее или наименьшее значение функции f(x, y) в замкнутой области. Если оно внутри, то это значение будет находится в точке экстремума. Однако, оно может быть на границе. Поэтому для нахождения наибольшего или наименьшего значения надо:
Пример. Найти наибольшее значение функции z=3x2+3y2-2x-2y+2 в замкнутой области, ограниченной линиями x=0, y=0, x+y=1.