Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, …, n, … ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел
x1, x2, …, xn, … (1)
мы будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа xn будем называть элементами или членами последовательности (1). Сокращенно последовательность (1
) будем обозначать символом {xn}.
Например, символом {1/n} будем обозначать последовательность 1, 1/2, …, 1/n,…, а символ {1+(-1)n} будет обозначать последовательность 0, 2, 0, 2, …
Рассмотрим наряду с последовательностью (1) последовательность
y1, y2, …, yn, … (2)
Определение. Назовем последовательность x1+y1, x2+y2, …, xn+yn, … (или {xn+yn}) суммой последовательностей (1) и (2
); последовательность x1-y1, x2-y2, …, xn-yn, … (или {xn-yn}) — разностью последовательностей (1
) и (2
); последовательность x1 · y1, x2 · y2, …, xn · yn, … (или {xn · yn}) произведением последовательностей (1
) и (2
); и, наконец,
последовательность x1/y1, x2/y2, …, xn/yn, … (или xn/yn) — частным последовательностей (1
) и (2
).
Замечание. Конечно, при определении частного последовательностей (1) и (2
) необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности (1
) были отличны от нуля. Однако, если у последовательности {yn}
обращается в нуль лишь конечное число элементов, то частное {xn/yn} можно определить с того номера, начиная с которого все элементы yn отличны от нуля.
Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число a, что для любого положительного числа ε можно указать номер N=N(ε) такой, что при n ≥ N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству
xn-a| < ε (3)
При этом число a называется пределом последовательности {xn}.
Если последовательность {xn} сходится и имеет своим пределом число a, то символически это записывается так:
Замечание. Из определения сходящейся последовательности и ее предела сразу же вытекает, что удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и на величину ее предела.
Замечание. Последовательности, не являющимися сходящимися, принято называть расходящимися.
Неравенство |xn-a|<ε равносильно неравенствам a-ε < xn < a+ε.
Геометрический смысл определения предела: Число a является пределом последовательности {xn}, если в любой его ε — окрестности, т.е. в интервале (a-ε, a+ε), содержатся почти все члены {xn}, за исключением лишь конечного числа точек этой последовательности.
Утверждение. Последовательность имеет только один предел.
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} являются сходящимися последовательностями, причем для их пределов выполняются следующие равенства:
Утверждение. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема [Необходимое и достаточное условие существования конечного предела]. Числовая последовательность сходится к конечному пределу тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при всех n>N и любых натуральных m xn-xn+m<ε.
Определение. Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, то есть если для всех номеров n справедливо неравенство
xn ≤ xn+1 (xn ≥ xn+1) (4)
Определение. Последовательность {xn} называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.
Если в (4) имеет место строгое неравенство, то последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей). Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.
Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), то она сходится и имеет следующий предел:
Другая формулировка теоремы: если монотонная последовательность {xn} ограничена с обеих сторон, то она сходится.