Теория пределов и дифференциальное исчисление
Элементы теории множеств
Введем понятие множества. Под множеством мы будем понимать набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
Понятие множества считается достаточно простым и интуитивно ясным, и поэтому определения этого понятия, то есть сведения его к другим понятиям, более простым и ясным, не дается.
Можно рассматривать множества чисел, множества точек, множества линий, множества функций, и т.д. Например, множество N всех натуральных чисел, множество точек отрезка [0,1]. Множества будут обозначаться большими буквами латинского алфавита: A, B, M, N и т.д. Элементы множества обозначаются малыми буквами латинского или греческого алфавита.
Если a есть элемент множества A, то пишут a ∈ A, если x не является элементом множества A, то пишут x ∉ A. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим относительно любого объекта судить, принадлежит ли он данному множеству или нет. Например, 1 ∈ N, √ 2 ∈ R, √ 2 ∉ Q.
Определение. Пустым множеством называется множество, которое не содержит ни одного элемента.
Таково, например, множество всех вещественных корней уравнения
x²+1=0.
Пустое множество обозначается символом ∅.
Определение. Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. То есть если из x ∈ A следует x ∈ B, и обратно: из y ∈ B следует y ∈ A.
В этом случае пишут A=B.
Пусть даны множества A и B.
Определение. Если каждый элемент x ∈ A является является также элементом множества B, x ∈ B, то говорят, что множество A включено в множество B, или что A является подмножеством множества B. Говорят также, что A есть часть B.
В этом случае пишут A ⊂ B или B ⊃ A. Включение A ⊂ B не исключает равенства этих множеств. Если же A ⊂ B, но A ≠ B, то A называют собственным подмножеством или правильной частью множества B.
Так, например, множество четных чисел { 2, 4, 6, …, 2n, …} есть собственное подмножество множества N всех натуральных чисел. Условимся также считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.
a) Объединение. Пусть дана совокупность множеств {A,B,C,…}. Множество M, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят по крайней мере в одно из множеств A, B, C, …, называется суммой или объединением множеств A, B, C… и обозначается M=A+B+C+… или M = A ∪ B ∪ C ∪ … Итак, если M = A ∪ B ∪ C ∪ …, то каждый элемент множества M входит или в A, или в B, или в C и т.д. и каждый элемент, входящий в одно их этих множеств, входит в M. Отметим, что если какой-либо элемент входит в несколько множеств, то в объединение этих множеств он включается только один раз.
Пример 1. Рассмотрим множества A={1,-2,0,4}, B={5,6,-5,0}, C={7,0,-1}, тогда M=A ∪ B ∪ C ={1,-2,0,4,5,6,-4,-1}.
b) Пересечение. Пусть снова дана совокупность множеств {A,B,C,…}. Множество M, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B, и множеству C и т.д. называется произведением или пересеqением множеств A, B, C, … и обозначается M=A · B · C… или M = A ∩ B ∩ C ∩ … Итак, если M = A ∩ B ∩ C ∩ …, то M состоит из всех элементов, которые входят в каждое из пересекаемых множеств.
В нашем примере M=A ∩ B ∩ C={0}.
Из определения объединения и пересечения множеств ясно, что операции объединения и взятия пересечения обладают свойством коммутативности и ассоциативности. Легко показать также, что имеет место следующий закон дистрибутивности:
X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z)
Свойство ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств указывают на сходство этих операций с операциями сложения и умножения чисел. Однако между операциями сложения и умножения применительно к множествам и применительно к числам существует глубокое различие. Так, например, для множеств справедливы равенства
A ∪ A = A, A ∩ A = A,
и если A ⊃ B, то выполняются равенства
A ∪ B = A, A ∩ B = B,
не имеющие места для чисел. c) Разность. Пусть даны множества A и B. Элементы множества A, не входящие в B, образуют множество, называемое разностью множества A и B и обозначаемое A-B или A\B. Если B есть подмножество A, то разность A\B называют также дополнением множества B до множества A и пишут CAB.
В нашем примере A\B={1,-2,4}, A\C={-2,4}.
Рассмотрим два произвольных множества X и Y и пары (x, y), где x∈ X, y∈ Y. Будем считать, что эти пары являются упорядоченными. То есть если x ≠ y, то (x, y)≠(y, x). Считаем, что (x, y)=(x′, y′), если x=x′, y=y′.
Определение. Декартовым произведением множеств X и Y (X × Y) называется множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар (x, y).
Например, X × X = {x²} — декартовый квадрат множества X, R × R = {(x, y): x ∈ R и y ∈ R}. Аналогично можно определить декартово произведение для нескольких множеств. Например, X × Y × Z = {(x,y,z): x∈ X, y∈ Y, z∈ Z}.