Эквивалентные множества. Мощность

Пусть даны два множества A и B, составленные из элементов любой природы. Если каждому элементу a ∈ A по некоторому правилу или закону ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент b ∈ B, и обратно, в силу того же самого правила каждому элементу b′ ∈ B соответствует один-единственный элемент a′ ∈ A, то говорят, что между элементами множеств A и B установлено взаимно однозначное соответствие. Будем писать в этом случае A ↔ B.

Пример 2. Пусть A — полуокружность без крайних точек, B — бесконечная прямая (-∞,∞). Между множествами A и B можно установить взаимно однозначное соответствие. Закон соответствия ясен из рисунка.

Пример 3. Пусть N={1, 2, …, n, …} и M={2, 4, …, 2n, …}. Соответствие n ↔ 2n, очевидно, взаимно однозначное.

Если между элементами множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называют эквивалентными и пишут A ∼ B. Легко проверить, что

1) A ∼ A,
2) если A ∼ B, то B ∼ A,
3) если A ∼ B и A ∼ C, то A ∼ C.

Рассмотрим два эквивалентных множества A и B, состоящих из конечного числа элементов. Ясно, что они содержат одно и то же число элементов. Поэтому можно сказать, что число элементов конечного множества есть то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу конечных множеств.

Определение. Мощностью произвольного множества A называется то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному множеству A.

Если A — конечное множество, то его мощность совпадает с числом элементов этого множества. Мощность множества A обозначается |A|. В силу определения мощности, если A ∼ B, то |A|=|B|.

Рассмотрим множество A, эквивалентное множеству натуральных чисел N. Из определения следует, что элементам из множества A можно поставить во взаимно однозначное соответствие числа натурального ряда, то есть что элементы множества A можно занумеровать:

A = {a₁, a₂, …, a_n, …}

Определение. Множество A, эквивалентное множеству чисел натурального ряда, называется счетным множеством.

Мощность счетного множества мы обозначим буквой a, то есть |N|=a.

Определение. Множества, эквивалентные множеству точек отрезка [0,1], называются множествами мощности континуума. Мощность континуума обозначается обычно буквой c, то есть |[0,1]|=c.