Понятие функции. Обычно в приложениях имеют дело не с одной переменной величиной, а с несколькими связанными между собой величинами. Рассмотрим пример. Для описания состояния 1 кг воздуха требуются три переменные величины: давление p (размерность кг/м³), под которым он находится; занимаемый им объем v (м³) и его температура t (o К). При постоянной температуре (для определенности положим t=273 К, это соответствует 0o C) увеличение давления p приведет к уменьшению объема v. Давление p мы можем менять произвольно (в определенном промежутке, в данном случае p не может быть отрицательным), поэтому p можно назвать независимой переменной. Для каждого значения давления газ будет занимать вполне определенный объем, т.е. величина объема зависит от величины давления, а значит объем можем назвать зависимой переменной. Данную зависимость описывает закон Бойля-Мариотта. Для нашего случая этот закон представляет зависимость v и p в виде уравнения:
v = 273·29,27/p.
Переменная величина v называется функцией независимой переменной p.
Определение (функции). Величина y называется функцией независимой переменной x, если любому определенному значению x (из множества ее возможных значений) соответствует определенной значение y.
Выбор зависимой и независимой переменной определяется удобством. Например, если в нашем примере мы можем менять объем воздуха v, то v будет независимой переменной, а ее функцией будет давление p:
p = 273·29,27/v.
Количество переменных может быть любым. Например, если температура может меняться, то закон Бойля-Мариотта меняется на закон Клайперона:
pv = 29,27(273+t).
Поскольку в последнем выражении из трех величин мы можем изменять только две (третья определяется уравнением), то уравнение содержит две независимые переменные, а функция выражается через них.
Приведем привер из геометрии. Площадь треугольника S выражается через длины сторон a, b, c и полупериметр p по формуле Герона
Стороны a, b и c можно менять произвольно, лишь бы любая сторона была бы больше разности и меньше суммы двух других сторон (иначе нельзя будет образовать треугольник). Тогда стороны a, b и c будут независимыми переменными, а площадь S — функцией от них.
Зная площадь треугольника S и любые две стороны a и b с помощью формулы
где α — угол между сторонами a и b, мы можем вычислить α. Здесь S, a и b — независимые переменные, а α — функция. Поскольку sin α — ограниченная единицей функция, то требования к независимым переменным определяют неравенства:
sin α = 2S / (ab) ≤ 1.
В данном примере, для заданых значений независимых переменных равенству sin &alpha = 2S / (ab) удовлетворяют два значения функции, соответствующие острому и тупому угол α.
Таким образом, функция может быть многозначной.
Аналитический способ задания функции. Законы природы, связывающие одни явления с другими, устанавливают функциональную зависимость между величинами.
Основные способы задания функциональных зависимостей следующие:
Если нет возможности записать формулу, которая выражает функцию через независимые переменные, пишут кратное обозначение формулы:
y=f(x).
Эта запись означает, что y является функцией независимой переменной x, а f — символический знак зависимости y от x. Для разных функций используются разные символические знаки, например, phi(x), F(x) и т.д.
Символическая запись для функции нескольких переменных:
v=F(x, y, z)
означает, что v есть функция зависящая от x, y и z.
Если задать конкретные значения независимым переменным, по получим частное значение функции. Например, для функции
y = x² + 2x - 3
для x = 1 частное значение функции будет y=1²+2·1-3 = 0.
Функцию можно определить различными аналитическими формулами на различных промежутках независимой переменной. Например, y=x на промежутке (0, 5) и y=10—x на промежутке (5, 10). На всей области определения x в промежутке (0, 10) функция y определена.
Определение (неявная функция). Функция называется неявной, если нет выражения этой функции, через независимые переменные, а имеется только уравнение связывающее ее и независимые переменные.
Пример для формулы площади треугольника, где функция α неявно зависит от переменных a, b и S:
a b sin α = 2S
Неявная функция v от нескольких независимых переменных x, y и z определяется уравнением
F(x, y, z, v) = 0.
Если преобразовать это уравнение к виду
v=Φ(x, y, z),
т.е. к явному виду, то мы можем вычислить значения функции v.
Использованная литература