Главная Функции и числа Графический способ изображения чисел


















Графический способ изображения чисел

Рассмотрим одну переменную x. Значение x можно представить в виде отрезка. Для этого достаточно выбрать единичный отрезок и построить отрезок длиной x. Таким образом, любая величина может быть не только выражена числом, но и изображена графическим отрезком. Для отображения отрицательных чисел условимся откладывать отрезки на одной и той же прямой линии и определим направления отрезков. Отрезки, направленные в одну сторону будут соответствовать положительным числам, а в противоположную сторону — отрицательным.

Графическое изображение числа
Рис. 1

На рисунке 1 показаны два отрезка лежащих на прямой. В качестве положительного направления выберем направление прямой в правую сторону (стрелка на конце прямой указывает это направление). Положительное число соответствует отрезку с началом в точке A и концом в точке B (направление отрезка совпадает с направлением прямой). Отрезок обозначим как . Отрицательное число обозначается отрезком начинающимся в точке A1 и заканчивающимся в точке B1 (отрезок направлен в направлении, противоположном направлению прямой).

Абсолютное значение рассматриваемого числа равняется длине отрезка независимо от направления. Длину отрезка обозначают через . Если отрезку соответствует число x, то будем писать

Длина отрезка

Удобно откладывать все отрезки относительно одной заранее выбранной точки O прямой X′X. Точка O называется началом отсчета, если ей соответствует число 0. Тогда любое число x отображаемое отрезком будет полностью определено точкой конца отрезка A, как изображено на рисунке 2.

Начало отсчета оси
Рис. 2

Таким образом, графическое изображение числа определяется следующим образом. Если провести направленную прямую X′X (ось) и отметить на ней неподвижную точку начала отсчета O, то каждому вещественному числу x будет соответствовать отрезок длиной x с началом в точке O и концом в точке A. Верно и обратное утверждение — каждой точке A прямой X′X соответствует число x равное длине отрезка . Число x называется абсциссой точки A (обозначают A(x)).

Изменение величины x равносильно смещению точки A. Промежуток значений axb соответствует отрезку концами имеющими абсциссы a и b.

Возьмем на оси X′X две точки: точку A1 с абсциссой x1 и точку A2 с абсциссой x2, образующие с началом отсчета отрезки (соответствующий числу x1) и (соответствующий числу x2). Отрезку будет соответствовать число (x2x1), а длина этого отрезка будет равна абсолютному значению разности:

Длина отрезка

Координаты

Мы рассмотрели способ задания точки, соответствующей вещественному числу x на прямой. Сейчас рассмотрим способ задания точки на плоскости.

Система координат
Рис. 3

Проведем две направленные взаимно перпендикулярные прямые X′X и Y′Y (координатные оси). На рисунке 3 положительное направление прямых обозначено стрелками. Точку пересечения прямых обозначим через O — эта точка будет началом координат для обеих прямых. Эти прямые и начало отсчета образуют координатную плоскость. Построим точку A соответствующую числу x (абсцисса) на прямой X′X, а точку B соответствующую числу y (ордината) на прямой Y′Y. Проведем прямые параллельные осям и проходящим, через точки A и B и обозначим точку пересечения этих прямых через M. Таким образом, получим точку M с координатами x и y. Обозначение: M(x, y).

Каждой паре значений величин x и y соответствует одно вполне определенной значение точки M лежащей на координатной плоскости, так же, как любой точке M лежащей на координатной плоскости соответствуют определенные координаты x и y.

Приведенная нами координатная плоскость является простейшей и называется прямоугольной, а координаты точки на ней называются прямоугольными координатами.

Знаки прямоугольных координат зависят от расположения точки. Если координатные оси делять плоскость на четыре квадранта (обозначены римскими цифрами на рисунке 3), то знаки координат будут следующими:

MIIIIIIIV
x++
y++

График и уравнение кривой

Рассмотрим переменную y функционально зависящую от x. Для каждого значения независимой переменной x есть частное значение функции y. Мы можем использовать значения x и y в качестве координат точки M (см. рисунок 4). При изменении x получаем новую точку M. Геометрическое место точек M на координатной плоскости будет представлять собой кривую, называемую графиком функциональной зависимости.

График функции
Рис. 4

Если функция задана аналитически в явном y=f(x) или неявном F(x, y)=0 виде, то данные уравнения называются уравнением кривой, а кривая — графиком уравнения или графиком функции. Кривая и ее уравнение эквивалентные по сути, являются лишь разными способами описания функциональной зависимости.

Если диапазоны изменения x и y различны, то можно выбрать масштаб (т.е. единицу измерения) по каждой из осей для более наглядного изображения графика функций.

Рассмотрим уравнение кривой y=f(x), где f(x) — однозначная функция, определенная на промежутке (a, b). Тогда каждому значению x∈(a, b) соответствует только одно значение f(x). Перпендикуляр к оси OX в любой точке x∈(a, b) пересечет график функции только в одной точке (по свойству однозначности функции).

Если функция задана в неявном виде, то возможны различные варианты.

На данной странице мы рассмотрели связь между алгеброй и геометрией. Эта связь позволяет геометрическим путем исследовать аналитические зависимости, а так же сводить решение вопросов геометрии к алгебраическим действиям. В этом и заключается основная задача аналитической геометрии.

Использованная литература