Понятие величины

Понятие величины. Одним из основных понятий математического анализы является величина и ее измерение. Характерное свойство величины заключается в том, что ее можно измерить, т.е. сравнить с величиной того же рода принимаемой за единицу меры. Сам процесс сравнения называют измерением, а результат измерения выражают числом -- количественное отношение измеряемой величины к величине единичной меры. Таким образом, каждой величине соответствует число, зависящее от принятой единицы меры. При изменении единицы меры (при изменении масштаба) значение величины соответственно изменится: если единица меры увеличится, то величина уменьшится и наоборот. Выбор масштаба зависит от исследуемой задачи. Например, длина может измерятся микроскопического размера атомов (доли ангстрема ≈10^-10 м) до астрономических размеров в световые годы (световой год - расстояние, которое проходит свет за год со скоростью 300000 км).

Законы природы выражаются через соотношение различных величин (их значений), математика занимается исследованием чисел и их соотношений независимо от способа из получения (нахождением соотношений величин, характеризующих законы природы занимается физика).

Число, получаемое при измерении может быть

целым, если измеряемая величина содержит целое число единичных мер;
дробным (рациональным), если существует другая мера укладывающаяся целое число раз как в измеряемой величине, так и в выбранной первоначально мере. В таком случае говорят, что величина соизмерима. Рациональную величину можно представить в виде конечной или бесконечной периодической дроби. Например, 5/33 = 0,1515... = 0,(15); 5/8 = 0,2777... = 0,2(7).
иррациональным, если величина является несоизмеримой. Примером иррациональной величины может быть число пи π (значение длины окружности с единичным диаметром). Иррациональное число представляет собой бесконечную дробь. Число знаков этой дроби берут таким образом, чтобы обеспечить необходимую точность вычислений.

Для сравнения чисел их записывают в виде десятичной дроби. Таким образом, можно сравнивать рациональные и иррациональные числа.

Величины могут быть разных знаков (например, температура по шкале Цельсия может быть ниже 0 или выше 0). Такие величины выражаются отрицательными и положительными числами. Если a и b положительные числа и a>b, то

-a<-b

и любое положительное число, включая нуль, больше отрицательного числа.

Определение. Все рациональные и иррациональные числа располагаются в определенном порядке по своей величине и образуют совокупность вещественный чисел (обозначается R).

Определение. Арифметическим или абсолютным значением числа a называется само число a, если оно положительно или -a, если оно отрицательно.

Абсолютное значение числа a обозначается символом |a|.

Если a≥0, то |a|=a. Если a≤0, то |a|=-a.

Замечание. Если числа a и b имеют один знак, то

|a+b| = a+b,

Если же числа a и b имеют разные знаки, то

|a+b| < a+b,

В общем случае, можем записать

|a+b| ≤ a+b.

Аналогично, можем записать для разности двух чисел a и b:

|a-b| ≥ a-b.

Абсолютное значение произведения равно произведению абсолютных значений. Абсолютное значение частного (делитель отличен от нуля) равно частному абсолютных значений.

|a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|.

Постоянные и переменные величины. В математике разделяют два класса величин постоянные и переменные.

Определение. Величина, которая при данном исследовании сохраняет одно и то же значение, т.е. ее числовое значение не меняется, называется постоянной величиной.

Определение. Величина, которая в ходе исследования по тем или иным причинам меняет свое значение, называется переменной величиной.

Одна и та же величина в различных обстоятельствах может быть как постоянной величиной, так и переменной. Например, вес тела измеряемой в одной точке земной поверхности будет постоянным и отличным от нуля, а при изменении широты на которой он измеряется переменным (за счет центробежной силы, вызванной вращением планеты, на экваторе он будет меньше); на околоземной орбите он будет постоянным и равным нулю. В технических расчетах размер элементов конструкции считается постоянной, но если принимать во внимание неравномерность нагрева элементов и тепловое расширение, то размер будет переменным.

Промежуток. Характер изменения переменной величины может быть разным:

некоторые величины могут принимать любое вещественной значение (например, время от начального значения можно отсчитывать сколь угодно как в положительном, так и отрицательном направлении);
некоторые величины имеют естественное ограничение (например, абсолютная температура не может быть ниже абсолютного нуля равного 0 градусов по шкале Кельвина или -273 по шкале Цельсия);
некоторые величины изменяются в определенном интервале (например, температура жидкой фазы воды при нормальных условиях может меняться от 0 до 100 градусов по шкале Цельсия).
величина может принимать только целые (дискретные) значения (например, количество особей в популяции) или значения соизмеримые с данной единицей.

Определение.

Если переменная величина x может принимать все вещественные значения, удовлетворяющие условию a≤x≤b, где a и b - заданные вещественные числа, то говорят, что x изменяется в промежутке (a, b). Если концы включены в промежуток, то его называют замкнутым промежутком.
Если переменная величина x может принимать все вещественные значения, удовлетворяющие условию a<x<b (концы не включены в промежуток), то говорят, что x изменяется внутри промежутка (a, b), а промежуток называют открытым промежутком.
Если переменная величина x определяется неравенством a≤x, то говорят, что x изменяется в промежутке (a, +∞), который замкнут (если неравенство строгое a<x, то открыт) слева и открыт справа.
Если переменная величина x определяется неравенством x≤b, промежуток будет (-∞, b), открытый слева и замкнутый (если x<b, то открытый) справа.
Если x может принимать любое вещественное значение, то говорят, что x изменяется в промежутке (-∞ +∞), открытом на обоих концах.

Обычно открытый промежуток обозначают (a, b), а замкнутый [a, b].

Использованная литература

В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Том 1. М.: Наука. 1974.