Как мы уже знаем, объем тела и масса пластинки вычисляются по формулам:
С помощью двойного интеграла можно вычислить площадь плоской области. Действительно, положив в первой из этих формул f(x,y) ≡ 1, получим V = 1 · S = S, то есть
Центр тяжести. Пусть в точке M1(x1,y1), M2(x2,y2), …, Mn(xn,yn) сосредоточены соответственно массы m1, m2, …, mn. Центр тяжести данной системы материальных точек находится в точке, координаты которой выражаются формулами:
Найдем координаты центра тяжести пластинки, занимающей в плоскости Oxy некоторую область S. Пусть p = p(x,y) - плотность этой пластинки в точке M(x,y). Разобьем область на элементарные области (ΔSk) (k=1,…,n), площади которых обозначим через ΔSk соответственно. Будем считать, что плотность в каждой области (ΔSk) постоянна и равна pk=p(xk,yk) и вся ее масса mk=pkΔSk=p(xk,yk)ΔSk сосредоточена в точке Mk(xk,yk).
Координаты центра тяжести полученной системы материальных точек Mk(xk,yk) выражаются формулами:
Эти формулы приближенно выражают координаты центра тяжести пластинки.
Обозначим через dk диаметр области (ΔSk) (k=1,…,n). Пусть &lambdan - наибольший из этих диаметров. Перейдем к пределам этих сумм при λn→0. Эти пределы равны соответствующим двойным интегралам.
Следовательно, координаты центра тяжести рассматриваемой пластинки определяются формулами
или
где m - масса пластинки.
Двойные интегралы
называются статистическими моментами пластинки S относительно осей Oy и Ox соответственно.
Если пластинка однородна, то есть p(x,y) =const, то получим
где S - площадь области S.
Момент инерции.
Определение. Моментом инерции IO материальной точки M с массой m относительно точки O называется произведение массы на квадрат расстояния r=ρ(O,M) между данными точками, то есть
Определение. Моментом инерции системы материальных точек M1(x1,y1), M2(x2,y2), …, Mn(xn,yn) с массами m1, m2, …, mn относительно точки O называется сумма моментов инерции всех этих точек:
Аналогично определяется момент инерции системы указанных материальных точек относительно оси Ou:
где rk - расстояние от точки Mk до оси Ou.
Определим момент инерции пластинки S с плотностью p=p(x,y) относительно точки O - начала прямоугольной декартовой системы координат.
Разбивая эту область на n элементарных областей (ΔSk) (k=1,…,n) и считая, что масса mk=p(xk,yk)ΔSkобласти (ΔSk) сосредоточена в точке Mk(xk,yk)∈(ΔSk), получаем систему n материальных точек. Так как
то момент инерции этой системы относительно точки O выразится так:
Определение. Моментом инерции пластинки относительно начала координат называется предел суммы IOc при λn→0, где λn - наибольший из диаметров dk областей (ΔSk) (k=1,…,n):
или
Моменты инерции этой пластинки относительно координатных осей Ox и Oy определяются формулами:
Отметим, что получили IO=Ix+Iy.
Формулы для вычисления массы материальной области по заданной объемной плотности p=p(x,y,z) и объема тела:
Тройной интеграл применяется также при вычислении координат центра тяжести C(x0,y0,z0) материальной области V, в которой распределено вещество с объемной плотностью p=p(x,y,z). По аналогии с двойным интегралом получим
где m - масса соответствующей области, определяемая формулой
Моменты инерции материальной области V относительно координатных осей Ox, Oy, Oz и начала координат определяется соответственно формулами
Масса материальной дуги. Если p=p(x,y,z) - плотность вещества, распределенного по дуге AB, то масса этой дуги:
Следовательно,
Длина дуги линии. Если p(x,y,z)≡1, тогда масса дуги AB m=1·l, m=l. Следовательно,
Центр тяжести материальной дуги. Если p=p(x,y,z) - плотность вещества, распределенного по дуге AB, то прямоугольные декартовы координаты ее центра тяжести C0(x0,y0,z0) выражаются формулами:
где m - масса дуги.
Моменты инерции материальной дуги. Моменты инерции материальной дуги AB, по которой распределено вещество с плотностью p=p(x,y,z), относительно координатных осей и начала координат:
Работа переменной силы. Если F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k - переменная сила, совершающая работу W вдоль криволинейного пути AB, и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) - непрерывны, то
Масса материальной поверхности m, по которой распределено вещество с плотностью p=p(x,y,z), распределяется формулой:
Площадь поверхности. Если p(x,y,z)≡1, тогда m=1·σ=σ. Следовательно,
Центр тяжести материальной дуги. Если p=p(x,y,z) - плотность вещества, распределенного по поверхности σ, то прямоугольные декартовы координаты ее центра тяжести M0(x0,y0,z0) выражаются формулами:
где m - масса поверхности. Для однородной поверхности (p≡const) имеем:
Моменты инерции материальной поверхности. Моменты инерции материальной поверхности σ, по которой распределено вещество с плотностью p=p(x,y,z), относительно координатных осей и начала координат: