Рассмотрим дугу AB пространственной линии и укажем на ней направление от A к B. Пусть на этой дуге определена и непрерывна вектор-функция
Разобьем дугу AB на n элементарных дуг Ak-1Ak (k=1,…,n; A=A0, B=An), на дуге Ak-1Ak выберем произвольную точку Mk(x'k,y'k,z'k). Обозначим декартовы координаты точек Ak(xk,y,sub>k,zk), тогда проекции дуги Ak-1Ak на координатные оси выразятся формулами:
Значения функций P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) в точке Mk(x'k,y'k,z'k) умножим соответственно на Δxk, Δyk, Δzk и сложим:
Составим сумму всех таких выражений:
которая называется интегральной суммой по координатам для вектор-функции .
Замечание. Отличие интегральной суммы по длине дуги от интегральной суммы по координатам состоит в том, что значение функции в фиксированной точке элементарной дуги умножается не на длину этой дуги, а на ее проекцию на соответствующую координатную ось.
Пусть и перейдем к пределу при λ→0.
Определение. Если существует предел интегральной суммы Tn при λ→0, то он называется криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции и обозначается
или
Итак, по определению
Если кривая L=AB задана параметрическими уравнениями
то
Если кривая L лежит в плоскости Oxy (z=0), то
Если плоская кривая задана уравнением y=y(x), где a≤x≤b, y(x) - непрерывно дифференцируемая функция, то
Рассмотрим направленную дугу пространственной линии с началом в точке A и концом в точке B (рис. 2). Касательную в любой точке M дуги AB будем также считать направленной прямой. Углы, образуемые касательной с координатными осями Ox, Oy, Oz, обозначим соответственно через α, β, γ.
Рис. 2
Вектор dl=(dx,dy,dz), где dl - дифференциал длины дуги, направлен по касательной, поэтому
Следовательно,
Эта формула выражает связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Если кривая AB лежит в плоскости Oxy (z=0), то
где α - угол между касательной и осью Ox.