Определение. Трехмерная область V называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура γ, принадлежащего этой области, найдется поверхность, целиком лежащая внутри V, имеющая данный контур своей границей.
Примеры поверхностно односвязной области: шар; область, ограниченная эллипсоидом; область, заключенная между двумя концентрическими сферами и т.п.
Пример поверхностно неодносвязной области: шар, из которого вырезан цилиндр.
Теорема. Если функции P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) и их частные производные первого порядка непрерывны в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно-односвязной области V, то следующие четыре утверждения равносильны.
где U=U(x,y,z) - некоторая функция, определенная в области V.
Замечание. Если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то
Следовательно, для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти функцию U(x,y,z), определенную в предыдущей теореме п.3, и интеграл равен разности значений этой функции в конечной и начальной точке пути интегрирования.