Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области S и криволинейным интегралом по контуру Γ, ограничивающему эту область (рис. 3). Будем считать, что область S является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции y=y1(x) (дугой ACB), сверху - графиком функции y=y2(x) (дугой ADB), которые вместе составляют замкнутый контур Γ.
Рис. 3
Пусть в области S и на ее границе Γ заданы функции P(x,y), Q(x,y), непрерывными вместе со своими частными производными P'y(x,y), Q'x(x,y), тогда
где обход контура Γ совершается в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки (область S остается слева).
Аналогично получаем
где обход контура Γ также совершается в положительном направлении. Вычитая одну формулу из другой, получим
Это формула Грина.
Замечание 1. Если обход конура Γ совершается в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке (область S остается справа), то формула Грина примет вид
Замечание 2. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла: если P(x,y)=-y, Q(x,y)=x, то
где обход контура Γ совершается против часовой стрелки.