Основные понятия векторной алгебры

Определение. Вектором называется направленный отрезок.

Обозначения: . У вектора точка A называется началом вектора, а точка B - конец вектора.

Определение. Модулем вектора называется его длина.

Обозначения: .

Определение. Нуль-вектором (или нулевым вектором) называется вектор, начало и конец которого совпадает.

Обозначение: . Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено.

Определение. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Определение. Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными.

Определение. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными.

Из определения равенства векторов следует, что каков бы ни был вектор и точка A, всегда можно построить единственный вектор с началом в точке A, равный вектору , т.е. , или, как говорят, перенести вектор в точку A.

Определение. Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными.

Обозначение: .

Определение. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

Линейные операции над векторами

Определение. Суммой векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совмещены (правило треугольника).

Определение. Суммой n векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора , конец - с концом последнего при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего (k=1,…,n) (правило замыкающей).

Свойства операции сложения:

(коммутативность);
(ассоциативность);
(наличие нулевого элемента);
(наличие противоположного элемента).

Определение. Разностью векторов и называется вектор такой, что в сумме с вектором дает вектор : , если

Определение. Произведением вектора на число λ≠0 называется вектор , модуль которого и который направлен в ту же сторону, что и вектор , если λ>0, и противоположную, если λ<0. Если λ=0 и/или , то .

Свойства произведения вектора на число::

(дистрибутивность относительно сложения векторов);
(дистрибутивность относительно сложения двух чисел);
(ассоциативность);
(умножение на единицу).

Теорема [Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов]. Вектора и коллинеарны, если выполняется следующее равенство:

Рассмотрим некоторый вектор и ось l. Пусть точки A₁ и B₁ - точки пересечения оси l с перпендикулярными ей плоскостями, проходящими через точки A и B.

Определение. Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , взятой со знаком "плюс", если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком "минус" в противном случае.

Обозначение: .

Проекция вычисляется по формуле:

где ϕ - угол между вектором и осью l.

Основные свойства проекции:

Если - орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы, т.е. линейной комбинации, с коэффициентами :

Коэффициенты линейной комбинации называют координатами вектора в базисе . Координаты вектора - это его проекции на координатные оси. Запись:

Длина вектора определяется по формуле:

Вектор образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы α, β, γ соответственно. Направление этого вектора определяется с помощью направляющих косинусов, для которых справедливы равенства:

Направляющие косинусы связаны соотношением: .

Переход от векторных соотношений к координатным

Пусть даны два вектора

1) Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов можно записать как

Если ни одна из координат второго вектора не обращается в нуль, то

Т.е. векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

2) .

3) Пусть, тогда

4) Пусть заданы n векторов и их линейная комбинация

тогда

Скалярное произведение двух векторов

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла ϕ между ними:

Скалярное произведение обозначается также

Так как ( - проекция вектора на вектор ) и $|, то можем записать

Понятие скалярного произведения возникло в механике. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа этой силы определяется равенством .