Решение задачи Дирихле в круге

Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием первого рода

Пусть область D — круг радиуса a, ограниченный окружностью S. Это есть задача Дирихле в круге.

Запишем данную задачу в полярных координатах:

Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде

Подставляя это выражение в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получаем

Следовательно, функция R(r) должна быть найдена из решения уравнения

а для функции Φ(φ) получаем задачу на собственные значения

Здесь условие периодичности функции Φ(φ) является следствием периодичности искомого решения u(r, φ) по угловой переменной φ с периодом 2π.

Последняя задача имеет нетривиальные периодические решения только при λ=&lambda_n=n², n=0, 1, 2, … Эти решения имеют вид

где A_n, B_n — произвольные постоянные.

Для функции R(r) при λ=n² получаем уравнение

()

Будем искать частные решения этого уравнения в виде степенной функции

тогда последнее уравнение примет вид

устанавливаем, что показатель k определяется из уравнения

Следовательно, уравнение () имеет два линейно независимых решения: rⁿ и r^-n.

Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограничено в центре круга при r=0. Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь

Таким образом, частные решения уравнения Лапласа в полярных координатах можно записать так:

В силу линейности и однородности равнения Лапласа суперпозиция частных решений

также будет удовлетворять этому уравнению.

Найдем постоянные A_n и B_n (n=0, 1, 2, …) .

Из граничного условия получим:

Разложим функцию γ(φ) в интервале (0, 2π) в тригонометрический ряд Фурье:

Приравняв коэффициенты в двух рядах, находим

Тогда решение можно записать в форме

Замечание. Если в этой формуле считать ρ=a/r>1, то она будет определять решение внешней для круга задачи Дирихле.