Главная Механика Импульс тела. Второй закон Ньютона


















Импульс тела. Второй закон Ньютона

Импульсом, или количеством движения материальной точки имеющей массу m и движущуюся со скоростью v называют вектор K=mv. Импульс материальной точки характеризует как быстроту движения, так и ее инертность и является одной из важнейших ее динамических характеристик.

Масса материальной точки постоянна, а ее ускорение является производной от скорости по времени. Поэтому

Подставляя последнее выражение в основное уравнение динамики, получим

Это уравнение является математической формулировкой второго закона Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на нее силе.

Если на материальную точку действуют несколько сил, то во втором законе Ньютона подразумевается результирующая сила.

Зависимость массы тела от скорости
Рис. 1 Зависимость массы тела от скорости

Отметим, что во времена Ньютона аддитивность и неизменность массы тела были очевидны, так как масса тела определялась количеством вещества, содержащегося в теле. Однако с открытием электрона и проведением опытом по движению электрона в электрическом и магнитном поле оказалось, что основной закон динамики нарушается при скоростях электрона близких к скорости света c. Объяснение этого явления было дано в специальной теории относительности Эйнштейна. Оказывается, второй закон Ньютона будет работать и в случае движения с высокими скоростями, если масса тела будет зависеть от скорости:

Формула зависимости массы тела от скорости

где m0 — масса покоя материальной точки, то есть масса при скорости v=0. Из рисунка 1 видно, что массу движущегося тела уже нельзя отождествлять с количеством его составляющего вещества; с ростом скорости его масса возрастает хотя количество вещества в нем не изменяется. По современным представлениям масса материальной точки одновременно является мерой ее инерционных и гравитационных свойств.

В классической механике изучающей движение тел при малых скоростях, то есть когда v \ll c, массы тел можно считать постоянными и равной массам покоя.

Перепишем второй закон Ньютона в виде

d(mv) = F dt.

Вектор F dt называется элементарным импульсом силы за малый промежуток времени dt. То есть, изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени dt равен элементарному импульсу силы за тот же промежуток времени. За конечный промежуток времени от t до tt изменение импульса равно импульсу результирующей силы F за рассматриваемый промежуток времени:

Если на материальную точку действует постоянная сила F=const, то

где v0 — начальная скорость материальной точки. Приращение импульса равно

Приращение импульса

Если сила равна нулю, то импульс со временем не меняется и материальная точка движется равномерно и прямолинейно в соответствии с первым законом.

Изменение импульса за время от t1 до t2 под действием переменной силы F равно

где Fср средняя сила которой можно заменить переменную силу F, если изменение импульса под действием средней силы будет равно изменению импульса под действием переменной силы за тот же промежуток времени.

Использованная литература