Главная Теория вероятностей и математическая статистика Двумерная случайная величина


















Двумерная случайная величина

Совместная функция распределения

Определение. Совокупность двух случайных величин

X1=X1(ω), X2=X2(ω),

заданных на одном и том же вероятностном пространстве, называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором. При этом сами случайные величины X1, X2 называют координатами случайного вектора.

Обозначения: (X1, X2), , (X, Y).

Пример. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X, Y), где X — отклонение по дальности, Y — отклонение в боковом направлении.

Определение. Функцией распределения (вероятностей)

F(x, y) = FX,Y(x, y)

двумерного случайного вектора (X, Y) называют функцию, значение которой в точке (x,y)∈ R2 равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X < x}, {Y < y}, т.е.

F(x, y) = FX,Y(x, y) = P{X < x, Y < y}.

Функцию распределения F(x, y) называют также совместной двумерной функцией распределения случайных величин X, Y.

Значение двумерной функции распределения в точке (a1, a2) представляет собой вероятность попадания точки с координатами (X1, X2) в квадрант с вершиной в точке (a1, a2), заштрихованный на рисунке~1.

Теорема. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:

Дискретные двумерные случайные величины

Определение. Двумерную случайную величину (X,Y) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной.

Пусть дискретная величина X принимает только значения x1, …, xn, Y — значения y1, …, ym, а координаты двумерного вектора (X, Y) — пары значений (xi, yi), i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m. Распределение двумерной дискретной случайной величины удобно представить в виде таблицы.

Здесь pij = P{X=xi, Y=yj} — вероятность совместного осуществления событий {X=xi} и {Y=yj}. В этой таблице обычно добавляют одну строку «PY» и столбец «PX». На пересечении столбца «PX» со строкой «xi» записывают число

pXi = pi1 + … + pim.

С другой стороны,

pXi = P{X=xi},

т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение xi. Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины X.

Аналогично, в последней строке «PY» помещены значения

pYj = p1j + … + pnj,

а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y.

Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка.

Для того, чтобы определить совместную функцию распределения FX,Y(x, y) необходимо просуммировать pij по всем значения i и j, для которых xi < x, yj < y, т.е.

Непрерывные случайные величины

Определение. Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой

F(x1, x2) = P{X < x1, Y < x2}

можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:

Функцию p(x1, x2) = pX,Y(x1, x2) называют совместной плотностью распределения случайных величин X и Y или плотностью распределения случайного вектора (X, Y).

Двойной интеграл можно представить в виде повторного

Если p(x1, x2) непрерывная функция по обоим аргументам, то

Теорема. Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами: