Математическое ожидание функции от случайной величины

Пусть Y=Y(X) является функцией от случайной величины.

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, принимающую значения x₁, …, x_n. Тогда случайная величина Y=Y(X), принимает значения Y(x₁), …, Y(x_n) с вероятностями

p_i = P{X=x_i}

и ее математическое ожидание определяется формулой

Если же величина X принимает счетное число значений, то математическое ожидание Y определяется формулой

при этом должно выполняться условие .

Пример. Определим математическое ожидание выигрыша Y в «Спортлото 6 из 49». Так как Y является функцией от случайной величины X — числа угаданных номеров, то воспользовавшись рядом распределения, получим

MY = M(X) = Y(0)P{X=0} + … + Y(6)P{X=6} ≈
≈ -0.3(0.436+0.413+0.1324) + 2.7 · 0.0176 + 54.7 · 0.00097 +
+ 699.7 · 2 · 10^-5 + 9999.7 · 7 · 10^-8 ≈ -0.179.

Таким образом, математическое ожидание выигрыша отрицательно и равно примерно 18 коп., а это означает, что играющий в среднем проигрывает больше половины стоимости билета (30 коп.).

Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения p(x) математическое ожидание случайной величины Y=Y(X) можно найти, используя формулу

при этом выполняется условие .

Свойства математического ожидания

Теорема. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам:

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью 1, то MC=C.
2. M(aX+b) = aMX+b, где a, b — постоянные.
3. M(X₁+X₂) = MX₁ + MX₂.
4. M(X₁ X₂) = MX₁ · MX₂ для независимых случайных величин X₁ и X₂.

Замечание. В теореме предполагается, что математическое ожидание случайных величин X, X₁, X₂ существует. Однако математическое ожидание суммы случайных величин может существовать даже тогда, когда математические ожидания обоих слагаемых не существуют. Так M(X-X)=M0=0, несмотря на то, что MX может не существовать.

Пример. Представим число успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли в виде X=X₁+…+X_n, где X_i — число успехов в i-том испытании. Очевидно, что

MX_i = 0 · q+1· p.

Значит в силу свойства 3

MX = MX₁ + … + MX_n = np,

что совпадает с предыдущим результатом, но получено с минимальными вычислениями.