Теорема (первый признак сравнения рядов). Если каждый член ряда с положительными членами (), начиная с некоторого члена n, не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда (), то ряд () также сходится.
Если же, наоборот, каждый член ряда (), начиная с некоторого n, не меньше соответствующего члена расходящегося ряда () с положительными членами, то и ряд () также расходится.
□ Докажем первое условие: an≤bn и ряд () сходится. Без ограничения общности мы можем считать, что это неравенство выполняется при всех n, отбросив при необходимости первые несколько членов, нарушающих это неравенство. Обозначим через Sn и σn частичные суммы первого и второго ряда, соответственно. Из неравенства следует, что Sn≤σn, но ряд () сходится и обозначая его сумму через σ получим, что σn≤σ и, следовательно, Sn≤σ. В силу конечности σ следует существование конечной суммы ряда и сходимости ряда ().
Для неравенства an≥bn имеем Sn≥σn. Из расходимости ряда () следует, что частичная сумма может быть сколь угодно большой, а частичная сумма первого ряда еще больше, следовательно ряд () расходится. ■
Теорема (второй признак сравнения рядов). Если для двух рядов () и () существует конечный и отличный от нуля предел отношения из главных членов
то ряды () и () сходятся и расходятся одновременно.
□ По определению предела последовательности
Тогда или .
Если () сходится, то также сходится и ряд () сходится по первому признаку сравнения.
Если () расходится, то также расходится и ряд расходится по первому признаку сравнения.■