Ряд Фурье для четных и нечетных функций

При вычислении коэффициентов Фурье часто бывает полезно пользоваться следующей леммой: \begin{Lemma}

Лемма. Если f(x) есть четная функция в промежутке (-a, a), то есть f(-x) = f(x), то

и если f(x) - нечетная функция, то есть f(-x) = - f(x), то

Таким образом, для четной функции f(x) имеем

(1)

а для нечетной функции f(x)

(2)

Разложение в промежутке [0, π]

Пусть теперь нам дана произвольная функция f(x), определенная в промежутке (0, π). Эту функцию можно разложить в промежутке (0, π) как в ряд вида (1), содержащий только косинусы, так и в ряд вида (2), содержащий только синусы. Оба эти ряда внутри промежутка (0, π) будут иметь суммой функцию f(x) или среднее арифметическое в точках разрыва. Но вне промежутка (0, π) они будут представлять совершенно различные функции: ряд по косинусам даст функцию, получающуюся из f(x) четным продолжением в соседний промежуток (-\pi, 0), а затем периодическим продолжением с периодом 2π вне промежутка (-π, π). Ряд по синусам дает функцию, получающуюся нечетным продолжением функции f(x) в соседний промежуток (-\pi, 0) и затем периодическим продолжением с периодом 2π вне промежутка (-π, π).

Таким образом, при разложении по косинусам

а при разложении по синусам

Разложение в промежутке [-l, l]

Часто бывает нужно разлагать в тригонометрический ряд по косинусам и синусам функцию f(x), определяемую не в промежутке (-π, π), а в промежутке (-l, l), или же в ряд только по косинусам или только по синусам функцию, определенную в промежутке (0, l). Эта задача приводится к предыдущей с помощью изменения масштаба, т.е. введения вместо x вспомогательной переменной ξ по формуле

(3)

Положим

Если функция f(x) была определена в промежутке (-l, l), то функция φ(ξ) будет определена в промежутке (-π, π) переменной ξ. Разлагая функцию φ(ξ) в ряд Фурье, получаем

где, в силу (3)

(4)

Таким образом теорема Дирихле остается верной и для промежутка (-l, l) с тем, однако, что разложение () заменяется разложением

причем коэффициенты a_k и b_k определяются по формулам (4).

Тоже относится и к разложениям функции f(x), определенной в промежутке (0, l), только по косинусам или только по синусам; для функции f(x) получаются ряды