Исследуем предельный случай, когда промежуток (-l, l) стремиться к (-∞, ∞), то есть l → ∞.
Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле и непрерывна во всяком конечном промежутке и сверх того абсолютно интегрируема в промежутке (-∞, ∞), то есть существует интеграл
По теореме Дирихле внутри (-l, l) мы имеем
Помня, что
мы получим отсюда
Что произойдет с этой формулой, когда l → ∞? Первое слагаемое очевидно стремится к нулю, ибо
Вводя новую переменную α, которая принимает равноотстоящие начения в промежутке (0, ∞):
получая каждый раз приращения Δ α = π/l, мы оставшуюся сумму можем написать в виде
При больших l интеграл, стоящий под знаком суммы, мало отличается от
и можно полагать, что вся сумма при l → ∞ будет стремиться к пределу
В точках разрыва непрерывности, если таковые имеются, надо только заменить f(x) на
Формула эта, которая получается из ряда Фурье при l → ∞, называется формулой Фурье. Мы приходим таким образом к предложению: если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле во всяком конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке (-∞, ∞), то при всех x имеет место равенство
(1
)
Теорема эта называется обычно теоремой Фурье, а интеграл, стоящий в левой части этой формулы, интегралом Фурье функции f(x).
Формула (1) может быть преобразована, если функция f(x) четная или нечетная. В самом деле, раскрывая cos α (t - x) имеем
(2
)
причем оба интеграла по t имеют, очевидно, смысл в виду абсолютной интегрируемости f(t) в промежутке (-∞, ∞).
Если функция f(t) - четная, то функция f(t) cos α t - четная, а функция f(t) sin α t -нечетная, и, следовательно,
так что
Если же функция f(x) - нечетная, то таким же образом получим
Если функция f(x) определена только в промежутке (0, ∞), ее можно продолжить в соседний промежуток (-∞, 0) четным или нечетным образом и тогда мы для одной и той же функции f(x), считая ее для простоты непрерывной, получим две формулы
(3
)
Нужно только помнить, что для первой из них функция f(x), продолжаясь четно, дает непрерывную функцию от x, так что первая формула верна и при x = 0; во второй же формуле, если f(x) ≠ 0, мы получим разрыв, и правая часть при x = 0 равняется не f(0), а нулю.
В формуле (2) первое интегрирование совершается по t, и, введя две функции
мы можем переписать формулу (2) в виде
считая для простоты f(x) непрерывной. В этой формуле мы имеем разложение f(x) в бесконечном промежутке (-∞, ∞) на гармонические колебания, причем частоты α этих колебаний непрерывно меняются от 0 до ∞, а функции A(α) и B(α) дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты α. Для конечного промежутка (-l, l мы имели частоты αn = nπ/l, (n = 0, 1, …), образующие арифметическую прогрессию.
Если в первой формуле (3) положить
(4
)
то ее можно переписать в виде
(5
)
В этих двух формулах f(x) и f1(α) совершенно одинаково выражаются одна через другую.
Если считать в формуле (5) f(x) заданной и f1(α) - искомой, то формула (5
) представляет собою так называемое интегральное уравнение для f1(α), поскольку эта функция входит под знак интеграла (интегральное уравнение Фурье). Формула (4
) дает решение этого интегрального уравнения. Совершенно также вторую формулу (3
) мы можем представить в виде следующих формул: