Главная Ряды Ряды


















Ряды

Введем основные понятия и определения, связанные с числовыми рядами.

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность a1, a2, ⋯, an, ⋯. Числовым рядом называется выражение вида

Сокращенно ряд обозначают следующим образом:

Числа ai называются членами ряда, а число an - общим членом ряда.

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда

частичная сумма ряда

называется частичной суммой ряда.

Определение 3. Если частичная сумма Sn имеет конечный предел при n → ∞

,

то S называют суммой ряда, а ряд называется сходящимся.

Замечание. Если предел частичной суммы не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и суммы ряда не существует.

Частичная сумма сходящегося ряда является приближенным выражением для суммы ряда, а его погрешность Rn=S-Sn называется остатком ряда.

Свойства числового ряда

Свойство 1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд , получаемый из предыдущего умножением всех членов ряда на одно и то же число α также сходится и имеет сумму αS.

Свойство 2. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. То есть, если

то ряд

также сходится и его сумма равна S±σ.

□ Сумма первых членов ряда

Свойство 3. Сходимость и расходимость ряда не нарушается, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечное число членов с начала.

□ Рассмотрим два ряда (во втором отброшено первые k членов):

Очевидно, что . При n→∞ частичные суммы имеют предел, так как с правой стороны стоит сходящийся ряд плюс константа и, следовательно, слева предел ряда конечен и равен

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то

.     ()

□ Если ряд сходится и имеет сумму S, то

Замечание. Условие () необходимо для сходимости ряда, но оно не достаточно: общий член ряда может стремиться к нулю, и все же ряд будет расходящимся.

Замечание. Если условие () не выполняется, то ряд расходится.