Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где an (n = 0, 1, 2, …) - постоянные, называемые коэффициентами ряда.
При a = 0 степенной ряд принимает вид
.
Теорема (Первая теорема Абеля).
Если степенной ряд сходится при
некотором значении x = x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при любом
x, для которого |x| < |x0|.
□ Пусть сперва ряд
сходится, тогда общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю, т.е.
а потому можно найти такую постоянную M, чтобы при всех значениях n мы имели
Придадим теперь x любое значение, удовлетворяющее условию |x| < |x0|, и положим
Мы имеем
то есть общий член ряда при рассматриваемом значении x по абсолютной величине не привосходит общего члена убывающей геометрической прогрессии, а потому ряд сходится абсолютно. ■
Следствие 1. Если степенной ряд расходится при некотором значении x1, то он расходится и при любом x, для которого |x| > |x1|.
Следствие 2. Если степенной ряд сходится при x0 ≠ 0, то он сходится при любом x из интервала (-|x0|,|x0|); если расходится при x = x1, то расходится вне интервала (-|x1|, |x1|), то есть при x < |x1| и x > |x1|.
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется число R такое, что
при |x| < R ряд сходится, а при |x| > R расходится. Интервалом сходимости ряда
называется
интервал (-R, R), где R - радиус сходимости.
На концах интервала сходимости ряд может сходиться или расходиться. Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, то полагают R = ∞. Если он сходится только при x = 0, считают R = 0.
Замечание. Аналогично определяются радиус и интервал сходимости ряда : если при
|x-a| < R этот ряд сходится, а при |x-a| > R расходится, то R - радиус его сходимости, (a-R, a+R) - интервал сходимости.
Выражения для радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты:
Теорема (Вторая теорема Абеля). Если R есть радиус сходимости ряда, то ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно в любом промежутке (a, b), лежащим целиком внутри промежутка (-R, +R), то есть для которого -R < a < b < R. Если же ряд сходится и при x = R или x = -R, то он будет равномерно сходящимся и в промежутке (a, R) или (-R, b).
Следствие 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на любом отрезке, целиком принадлежащем его интервалу сходимости.
Следствие 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку [α, β], целиком принадлежащему его интервалу сходимости (-R, R).
Теорема. Если степенной ряд имеет интервал сходимости (-R, R) и S(x) - его сумма, то ряд
полученный почленным дифференцированием ряда
, имеет
тот же интервал сходимости, причем
Следствие. Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале его сходимости.