Экспоненциальная функция имеет следующее разложение в ряд Тейлора:
В частности, основание натурального логарифма равно
Бином Ньютона .
В случае log(x) разложение по формуле Тейлора по степеням x не применимо, так как при x = 0 она сама и ее производные терпят разрыв непрерывности и обращаются в бесконечность. Мы можем найти выражение для log(1+x).
Покажем, что (
)
Ряд сходится при |x| < 1 и представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q =
x. Сумма его вычисляется по формуле
,
(a=1, q=x).
Следовательно, формула (
) представляет собой разложение функции
в степенной ряд; радиус сходимости R = 1.
Записав в последнем равенстве (-t) вместо x, получим разложение в степенной ряд функции
Это равенство можно получить непосредственно, поскольку ряд
сходится при |t| < 1 и
его сумма равна
.
Интегрируя последний ряд по отрезку [0,x], где |x| < 1, получим
Этот ряд сходится при |x| < 1, поскольку степенной ряд сходится на любом отрезке, целиком принадлежащем его интервалу сходимости. При x = 1 ряд также сходится (из рассмотренного ранее примера), при x = -1 ряд расходится (получен из гармонического ряда умножением на (-1)). Следовательно, ряд сходится при
-1 < x ≤ 1.
Можем получить также следующий ряд и ряд вида:
Это разложение имеет место при |x| < 1.