Главная Механика Скорость материальной точки


















Скорость материальной точки

За одинаковые промежутки времени тело может проходить различный путь. Для характеристики движения вводится физическая величина — скорость, определяющая быстроту движения и его направление в данный момент времени.

Перемещение и скорость материальной точки
Рис. 1. Перемещение и скорость материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки с момента времени t1 из точки M до момента времени t2 в точку N по криволинейной траектории MN (рисунок 1). Прошедший промежуток времени обозначим Δt = t2 - t1, а пройденный путь (длина кривой MN) через Δs. Радиус-векторы точек M и N равны r1 и r2, соответственно, а приращение радиус-вектора равно Δr = r2 - r1.

Вектором средней скорости vср точки на рассматриваемом интервале времени от t1 до t2 называется называется отношение приращения радиус-вектора Δr к приращению времени Δt:

Определение средней скорости

Направление вектора средней скорости vср совпадает с направлением приращения радиус-вектора материальной точки Δr (вдоль хорды MN). Если уменьшать промежуток времени, то точка N будет приближаться к точке M и в пределе, если устремить Δt к нулю, то получим значение мгновенной скорости (или просто скорости) v материальной точки в момент времени t при прохождении через точку M траектории движения. Значение скорости с использованием определения производной вычисляется следующим образом:

Определение мгновенной скорости

При этом, направление вектора скорости (и дифференциала приращения dr) будет совпадать с касательной к траектории в точке M.

С уменьшением длины дуги MN ее значение приближается к длине хорды MN, то есть приращение траектории Δs стремится к модулю приращения радиус-вектора Δr. В пределе Δt → 0:

Связь пути и вектора перемещения

Следовательно величина скорости v равно производной от длины пути по времени:

Определение величины скорости

Длина пути пройденного точкой за время от t до t+Δ t равно:

Формула приращения пути

Если приращение радиус-вектора в декартовой системе координат имеет координаты (x, y, z) или в записи через орты:

Приращение вектора перемещения

то дифференцируя по времени получим выражение скорости в декартовой системе координат:

Приращение вектора скорости

где компоненты скорости (проекции на оси координат) равны:

Компоненты скорости

Величина скорости через ее компоненты вычисляется по формуле

Величина скорости в декартовых координатах

При прямолинейном движении направление вектора скорости не меняется и траектория движения представляет собой прямую линию, а приращение пути равняется модулю приращения вектора перемещение Δs=|Δr|. Если при этом остается неизменной величина скорости, то движение называется равномерным. Подставляя v в формулу для вычисления пути и принимая во внимание, что константу можно вынести за знак интеграла получим:

Формула равномерного движения

Это зависимость представляет собой линейную функцию Δs зависящую от Δt с коэффициентом пропорциональности v. По свойству линейной функции, за произвольные равные промежутки времени точка проходит одинаковый путь.

Если направление вектора скорости меняется, то движение называется криволинейным. При этом, приращение скорости не равно модулю приращения вектора перемещения Δs ≠ |Δ r|.

Если точка участвует в нескольких движениях, то закон независимых перемещений можно расширить и для скоростей: скорость v результирующего движения будет равна векторной сумме скоростей v1, …, vn каждого движения по отдельности (закон сложения скоростей).

Замечание. В общем, скорость может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Если есть выделеное направление траектории, которое можно считать положительным, то при движении в положительном направлении скорость будет положительной, а при движении в обратном направлении — отрицательной. Поэтому, в формулах вида v=|v| величина скорости является абсолютной (положительной), но если приращение пути отрицательно, то и истинная величина скорости также будет отрицательной. Если выделеного направления нет, то рассматривают знак компонентов скорости совпадающих со знаком проекций вектора скорости на оси координат.

В системе СИ единицей измерения скорости является метр в секунду (м/с).

Использованная литература: